exemple d`application de la méthode de jacobi

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En pratique, vous choisirez normalement une seule mesure d`erreur pour déterminer quand arrêter. Il faut 8 itérations pour réduire la taille de l`étape à moins de 0. Maple n`a pas de paquet d`algèbre linéaire numérique, et par conséquent il n`y a pas de fonctionnalité équivalente. Nous utilisons l`équation x (k + 1) = D − 1 (b − R x (k)) {displaystyle x ^ {(k + 1)} = D ^ {-1} (b-RX ^ {(k)})}, décrit ci-dessus, pour estimer x {displaystyle x}. La figure 1. Cependant, pour mieux comprendre le comportement d`une méthode itérative, il est instructif d`utiliser la méthode pour résoudre un système ax = b pour lequel nous connaissons la vraie solution et d`analyser la rapidité avec laquelle les approximations convergent vers la vraie solution. Pour $k = 1, 2,. Il y a deux exigences. En utilisant les approximations obtenues, la procédure itérative est répétée jusqu`à ce que la précision désirée ait été atteinte. Si nous nous arrêfaisons en raison de la condition 2, nous pouvons soit choisir une approximation initiale différente x 0, ou indiquer qu`une solution peut ne pas exister.

La méthode Jacobi convergera pour les matrices diagonalement dominantes; Toutefois, le taux de convergence dépendra de la norme de la matrice | | | D-1Moff | | |. Ecrire M = D + MOff, où D est une matrice diagonale et MOff se compose de toutes les entrées hors diagonale de M. Ainsi, pour un si petit exemple, il serait moins coûteux d`utiliser l`élimination gaussienne et la substitution rétrograde, cependant, le nombre de multiplications et de divisions croît O (N3) alors que la méthode de Jacobi ne nécessite qu`une multiplication par matrice-vecteur et est donc O (N2). L`inverse D-1 de la matrice D est simplement la réciproque de toutes les entrées diagonales de D. Donc x (1) = (x1 (1), x2 (1), x3 (1)) = (3/4, 9/6, − 6/7) ≈ (0. Nous sommes intéressés par l`erreur e à chaque itération entre la vraie solution x et l`approximation x (k): e (k) = x − x (k). Ainsi, après 4 itérations, nous avons convergé. De toute évidence, nous ne connaissons généralement pas la vraie solution x. Dans l`algèbre linéaire numérique, la méthode de Jacobi est un algorithme itératif pour déterminer les solutions d`un système diagonalement dominant des équations linéaires.

Étant donné que toutes les entrées de la matrice diagonale sont non nulles, l`inverse est simplement la matrice diagonale dont les entrées diagonales sont les inverses des entrées correspondantes de D. La quantité minimale de stockage est de deux vecteurs de taille n. Dans le cas où la matrice de système A {displaystyle A} est de type symétrique positif-défini, on peut montrer la convergence. Cette technique suppose que nous avons déjà une approximation raisonnable de la solution et que le système est trop grand pour être résolu en utilisant des techniques de PLU standard. MOff contient les entrées hors diagonale de M. Notez que R = L + U {displaystyle R = L + U} où L {displaystyle L} et U {displaystyle U} sont les parties strictement inférieures et supérieures de A {displaystyle A}. Pour le même problème dans la question 1, commencez par le vecteur initial x 0 = (zéro. Supposons que nous essayons de résoudre un système d`équation linéaire MX = b. La procédure numérique suivante itère simplement pour produire le vecteur de solution. La norme d`un vecteur | | x | | nous indique la taille du vecteur dans son ensemble (par opposition à la taille de chaque élément du vecteur).

Tout d`abord, il est nécessaire que les entrées diagonales de la matrice M soient toutes non nulles. Des méthodes efficaces de résolution des systèmes d`équations linéaires, en particulier lorsque des solutions approximatives sont déjà connues, réduisent significativement la quantité de calcul nécessaire.